1. 명제
: 참 혹은 거짓을 판명할 수 있는 선언적인 문장
- 선언적인 문장 : ~은 ~이다.
- 주어와 술어로 구성
[1] 명제의 종류
1. 사실 명제
⇒ 관찰, 측정, 실험
2. 논리 명제
⇒ 수학, 형식 명제
3. 복합 명제
⇒ 단순 명제의 조합으로 만들어지는 명제
[2] 한정사
명제 함수 p(x)의 정의역은 한정사를 사용하여 표현할 수 있다. 두가지 종류가 존재한다.
1. 전체 한정 (ALL) : ∀x p(x)
x가 갖는 모든 값에 대해서 p(x)가 참인 명제를 p(x)의 전체 한정이라고 함
2. 존재 한정 (SOME) : ∃x p(x)
x가 갖는 값 중에서 p(x)가 참이 되게 하는 x가 존재하는 명제를 p(x)의 존재 한정이라고 함
2. 추론과 귀납
참으로 알고 있는 명제로부터 새로운 참인 명제를 찾아내려고 한다. 이러한 과정을 통해 새로운 지식을 얻는다. 올바른 추론의 규칙을 논리라고 부른다.
[1] 연역법
형식 논리의 명제 틀에 기반을 둔다.
| P → Q | P | Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
⇒ P → Q 와 P 가 참이면 Q 도 참이 된다.
💡
‘전제가 과연 참(T)인가’가 Key Point 이다.
수학과 연역법
수학의 이론은 연역법에 의해 만들어진 명제들로 이루어진다.
[2] 귀납법
개별적인 사실을 말하는 명제들로부터 일반적인 결론을 도출하는 방법
집합 C = {x1, x2, ... , xn}
명제 P(x,y) : x는 y이다.
P(x1,y) is T. P(x2,y) is T. ... P(xn,y) is T.
⇒ ∀x P(x,y) is T.
귀납법의 한계
💡
집합의 모든 원소에 대해 참인 것을 밝힐 수 없다 따라서, 도출된 결론은 기껏해야 확률적인 결론일 수 밖에 없다.
4. 부울대수
집합 S ={0,1}에 대해 다음의 세가지 연산이 존재한다. 1. 보수 2. 부울 곱 3. 부울 합
연산 우선순위
💡
보수 >> 곱 >> 합
보수 : ‘ 로 표시
- 0’ = 1
- 1’ = 0
부울 곱 : ‘·’ (AND)
→ ‘·’ 는 생략하여 표기하기도 함.
- 1 · 1 = 1
- 1 · 0 / 0 · 1= 0
- 0 · 0 = 0
부울 합 : ‘+’ (OR)
- 1+1 = 1
- 1+0 / 0+1 = 0
- 0+0 = 0
부울 식
X1, X2, ... , Xn : 부울 변수 → 0, 1, X1, X2, ... , Xn 은 부울식 → E1, E2 가 부울식이면, E1, (E1 · E2), (E1 + E2)도 부울식
부울함수
부울 변수와 부울 연산자로 구성된 부울 식으로 표현할 수 있다.
부울 대수의 법칙
| 항등성(identity) | 법칙 |
|---|---|
| (x’)’ = x | 이중 보수 법칙 |
| x + x = x , xx = x | 멱등 법칙 |
| x + 0 = x , x1 = x | 항등 법칙 |
| x + x’ = 1 , xx’ = 0 | 보수 법칙 |
| x + y = y + x , xy = yx | 교환 법칙 |
| x + (y + z) = (x + y) + z , x(yz) = (xy)z | 결합 법칙 |
| x + yz = (x + y)(x + z) , x(y + z) = xy + xz | 분배 법칙 |
| (xy)’ = x’ + y’ , (x + y)’ = x’y’ | 드모르강의 법칙 |
- 멱등성 : 연산을 여러 번 적용하더라도 결과가 달라지지 않는 성질
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